Question

5．如圖①，拋物線y=ax²上有一點C，CA⊥y軸于點A，直線l：y=-1垂直于y軸，CB⊥l于點B，且CA=CB=2，點A的坐標是（0，1）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖②，若點P是拋物線上的任意一點，PD⊥l，垂足為D，則總有PA=PD嗎？請經過計算驗證你的結論；
（3）在（2）的條件下，連接AD，當△PAD是等邊三角形時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）根據勾股定理，可得AP的長，根據點到直線的距離，可得PD的長，可得答案；
（3）根據等邊三角形的定義，可得AD=PD，可得關于m的方程，根據解方程，可得m的值，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案．

解答 解：（1）由A（0，1），AC=2，
得C（2，1）．
將C點坐標代入函數解析式，得
1=4a．
解得a=$\frac{1}{4}$，
拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²；
（2）若點P是拋物線上的任意一點，PD⊥l，垂足為D，則總有PA=PD，
證明：設P（m，$\frac{1}{4}$m²），
AP²=m²+（$\frac{1}{4}$m²-1）²=（$\frac{1}{4}$m²+1）²，
PD²=（$\frac{1}{4}$m²+1）²，
∴AP²=PD²，
∴AP=PD；
（3）設P（m，$\frac{1}{4}$m²），D（m，-1），A（0，1），
當△PAD是等邊三角形，得
PA=PD=AD．
即AD²=PD²，
m²+2²=（$\frac{1}{4}$m²+1）²．
化簡，得
m²=12，解得m₁=2$\sqrt{3}$或m₂=-2$\sqrt{3}$．
當m=2$\sqrt{3}$時，$\frac{1}{4}$m²=3，即P（2$\sqrt{3}$，3）；
當m=-2$\sqrt{3}$時，$\frac{1}{4}$m²=3，即P（-2$\sqrt{3}$，3）；
綜上所述：當△PAD是等邊三角形時，點P的坐標（2$\sqrt{3}$，3）；（-2$\sqrt{3}$，3）．

點評 本題考查了二次函數綜合題，利用勾股定理得出PA的長，點到直線的距離得出PD的長是解題關鍵；利用AD與PD的關系得出關于m的方程是解題關鍵．