Question

（2013•南昌）如圖，在平面直角坐標系中，以點O為圓心，半徑為2的圓與y軸交于點A，點P（4，2）是⊙O外一點，連接AP，直線PB與⊙O相切于點B，交x軸于點C．
（1）證明PA是⊙O的切線；
（2）求點B的坐標．

Answer 1

分析：（1）由AO=2，P的縱坐標為2，得到AP與x軸平行，即PA與AO垂直，即可得到AP為圓O的切線；
（2）連接OP，OB，過B作BQ垂直于OC，由切線長定理得到PA=PB=4，PO為角平分線，進而得到一對角相等，根據AP與OC平行，利用兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，等量代換并利用等角對等邊得到OC=CP，設OC=x，BC=BP-PC=4-x，OB=2，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出OC與BC的長，在直角三角形OBC中，利用面積法求出BQ的長，再利用勾股定理求出OQ的長，根據B在第四象限，即可求出B的坐標．

解答：（1）證明：∵圓O的半徑為2，P（4，2），
∴AP⊥OA，
則AP為圓O的切線；
（2）解：連接OP，OB，過B作BQ⊥OC，
∵PA、PB為圓O的切線，
∴∠APO=∠BPO，PA=PB=4，
∵AP∥OC，
∴∠APO=∠POC，
∴∠BPO=∠POC，
∴OC=CP，
在Rt△OBC中，設OC=PC=x，則BC=PB-PC=4-x，OB=2，
根據勾股定理得：OC²=OB²+BC²，即x²=4+（4-x）²，
解得：x=2.5，
∴BC=4-x=1.5，
∵S_△OBC=

1

2

OB•BC=

1

2

OC•BQ，即OB•BC=OC•BQ，
∴BQ=

2×1.5

2.5

=1.2，
在Rt△OBQ中，根據勾股定理得：OQ=

OB2-BQ2

=1.6，
則B坐標為（1.6，-1.2）．

點評：此題考查了切線的性質與判定，坐標與圖形性質，勾股定理，三角形的面積求法，平行線的性質，以及切線長定理，熟練掌握切線的性質與判定是解本題的關鍵．