Question

某專買店購(gòu)進(jìn)一批新型計(jì)算器，每只進(jìn)價(jià)12元，售價(jià)20元多買優(yōu)惠：凡一次買10只以上的，每多買一只，所買的全部計(jì)算器每只就降低0.10元、例如：某人買20只計(jì)算器，于是每只降價(jià)0.10×（20-10）=1（元），因此，所買的全部20只計(jì)算器都按每只19元的價(jià)格購(gòu)買．設(shè)一次性購(gòu)買計(jì)算器為x只，所獲利潤(rùn)為y元．
（1）若該專賣店在確保不虧本的前提下進(jìn)行優(yōu)惠銷售，試求y與x（x＞10）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）若該專買店想獲得200元的銷售利潤(rùn)，又想讓消費(fèi)者多獲得實(shí)惠，應(yīng)將每只售價(jià)定為多少元？
（3）某天，顧客甲買了42只新型計(jì)算器，顧客乙買了52只新型計(jì)算器，店主卻發(fā)現(xiàn)賣42只賺的錢反而比賣52只賺的錢多，你能用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋這一現(xiàn)象嗎？

Answer 1

解：（1）y=[20-0.1（x-10）-12]x=-0.1x²+9x，
∵y≥0，
∴-0.1x²+9x≥0，
∴0≤x≤90，
∵x＞10，
自變量x的取值范圍是：10＜x≤90；

（2）把y=200代入，得-0.1x²+9x=200，解得x₁=50，x₂=40，
當(dāng)x=50時(shí)，20-（50-10）×0.1=16（元），
當(dāng)x=40時(shí)，20-（40-10）×0.1=17（元），
∵16＜17，∴應(yīng)將每只售價(jià)定為16元；

（3）y=-0.1x²+9x=-0.1（x-45）²+202.5．
①當(dāng)10＜x≤45時(shí)，y隨x的增大而增大，即當(dāng)賣的只數(shù)越多時(shí)，利潤(rùn)更大．
②當(dāng)45＜x≤90時(shí)，y隨x的增大而減小，即當(dāng)賣的只數(shù)越多時(shí)，利潤(rùn)變小．
且當(dāng)x=42時(shí)，y₁=201.6元，當(dāng)x=52時(shí)，y₂=197.6元．
∴y₁＞y₂．即出現(xiàn)了賣42只賺的錢比賣52只嫌的錢多的現(xiàn)象．
分析：（1）設(shè)一次購(gòu)買x只，由于凡是一次買10只以上的，每多買一只，所買的全部計(jì)算器每只就降低0.10元，因此得到y(tǒng)=[20-0.1（x-10）-12]x，再利用該專賣店在確保不虧本的前提下進(jìn)行優(yōu)惠銷售，求出x的取值范圍即可；
（2）把y=200代入，得-0.1x²+9x=200，解得x₁=50，x₂=40，進(jìn)而分析得出售價(jià)；
（3）首先把函數(shù)變?yōu)閥=-0.1x²+9x=-0.1（x-45）²+202.5，然后可以得到函數(shù)的增減性，再結(jié)合已知條件即可解決問題．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．最大銷售利潤(rùn)的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說二次函數(shù)的最值不一定在x=-時(shí)取得．