Question

某專買店購進一批新型計算器，每只進價12元，售價20元多買優惠：凡一次買10只以上的，每多買一只，所買的全部計算器每只就降低0.10元、例如：某人買20只計算器，于是每只降價0.10×（20-10）=1（元），因此，所買的全部20只計算器都按每只19元的價格購買．設一次性購買計算器為x只，所獲利潤為y元．
（1）若該專賣店在確保不虧本的前提下進行優惠銷售，試求y與x（x＞10）之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）若該專買店想獲得200元的銷售利潤，又想讓消費者多獲得實惠，應將每只售價定為多少元？
（3）某天，顧客甲買了42只新型計算器，顧客乙買了52只新型計算器，店主卻發現賣42只賺的錢反而比賣52只賺的錢多，你能用數學知識解釋這一現象嗎？

Answer 1

【答案】分析：（1）設一次購買x只，由于凡是一次買10只以上的，每多買一只，所買的全部計算器每只就降低0.10元，因此得到y=[20-0.1（x-10）-12]x，再利用該專賣店在確保不虧本的前提下進行優惠銷售，求出x的取值范圍即可；
（2）把y=200代入，得-0.1x²+9x=200，解得x₁=50，x₂=40，進而分析得出售價；
（3）首先把函數變為y=-0.1x²+9x=-0.1（x-45）²+202.5，然后可以得到函數的增減性，再結合已知條件即可解決問題．
解答：解：（1）y=[20-0.1（x-10）-12]x=-0.1x²+9x，
∵y≥0，
∴-0.1x²+9x≥0，
∴0≤x≤90，
∵x＞10，
自變量x的取值范圍是：10＜x≤90；

（2）把y=200代入，得-0.1x²+9x=200，解得x₁=50，x₂=40，
當x=50時，20-（50-10）×0.1=16（元），
當x=40時，20-（40-10）×0.1=17（元），
∵16＜17，∴應將每只售價定為16元；

（3）y=-0.1x²+9x=-0.1（x-45）²+202.5．
①當10＜x≤45時，y隨x的增大而增大，即當賣的只數越多時，利潤更大．
②當45＜x≤90時，y隨x的增大而減小，即當賣的只數越多時，利潤變小．
且當x=42時，y₁=201.6元，當x=52時，y₂=197.6元．      
∴y₁＞y₂．即出現了賣42只賺的錢比賣52只嫌的錢多的現象．
點評：本題考查了二次函數的性質在實際生活中的應用．最大銷售利潤的問題常利函數的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數模型，然后結合實際選擇最優方案．其中要注意應該在自變量的取值范圍內求最大值（或最小值），也就是說二次函數的最值不一定在x=-時取得．