Question

8．如圖，在Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB于D
（1）求證：△ADC∽△CDB；
（2）若AD=2，BD=6，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）利用等角的余角相等得到∠B=∠ACD，則利用有兩組角對應相等的兩三角形相似可判斷△ADC∽△CDB；
（2）利用相似比得到$\frac{AD}{CD}$=$\frac{CD}{BD}$，然后利用比例性質求CD．

解答 （1）證明：∵CD⊥AB于D，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
∴∠BCD+∠B=90°
∵∠ACB=90°，即∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴△ADC∽△CDB；
（2）解：∵△ADC∽△CDB，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{CD}{BD}$，即$\frac{2}{CD}$=$\frac{CD}{6}$，
∴CD=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用；再運用相似三角形的性質時主要利用相似比進行幾何計算．