Question

【題目】某一房間內(nèi)A、B兩點之間設(shè)有探測報警裝置，小車（不計大小）在房間內(nèi)運動，當小車從AB之間經(jīng)過時，將觸發(fā)報警．現(xiàn)將A、B兩點放置于平面直角坐標系xOy中（如圖），已知點A，B的坐標分別為（0，4），（4，4），小車沿拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）運動．若小車在運動過程中只觸發(fā)一次報警裝置，則a的取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】a＝﹣1或a＜﹣或a＞．

【解析】

把拋物線解析式分解因式，得其與x軸的交點坐標及對稱軸，再分別代入臨界點的坐標（0，4）和（4，4），結(jié)合二次項系數(shù)大小與開口大小及與x軸的交點為定點等即可解答．

拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3），

∴其對稱軸為：x＝1，且圖象與x軸交于（﹣1，0），（3，0）．

∵拋物線頂點為（1，﹣4a），當頂點在線段AB上時，﹣4a＝4，則a＝﹣1；

當拋物線過點（0，4）時，代入解析式得4＝﹣3a，

∴a＝﹣，由對稱軸為x＝1及圖象與x軸交于（﹣1，0），（3，0）可知，當a＜﹣時，拋物線與線段AB只有一個交點；

當拋物線過點（4，4）時，代入解析式得16a﹣8a﹣3a＝4，

∴a＝，同理可知當a＞時，拋物線與線段AB只有一個交點．

故答案為：a＝﹣1或a＜﹣或a＞．