Question

如圖，函數的圖象與直線交于A點，將直線OA繞O點順時針旋轉30°，交函數的圖象于B點，若線段，則k=    ．

Answer 1

【答案】分析：作AC⊥x軸與C，BD⊥x軸于D，AE⊥BD于E點，設A點坐標為（3a，-a），則OC=-3a，AC=-a，利用勾股定理計算出OA=-2a，得到∠AOC=30°，再根據旋轉的性質得到OA=OB，∠BOD=60°，易證得Rt△OAC≌Rt△BOD，OD=AC=-a，BD=OC=-3a，于是有AE=OC-OD=-3a+a，BE=BD-AC=-3a+a，即AE=BE，則△ABE為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質得到3-=（-3a+a），求出a=1，確定A點坐標為（3，-），然后把A（3，-）代入函數y=即可得到k的值．
解答：解：作AC⊥x軸與C，BD⊥x軸于D，AE⊥BD于E點，如圖，
點A在直線y=-x上，可設A點坐標為（3a，-a），
在Rt△OAC中，OC=-3a，AC=-a，
∴OA==-2a，
∴∠AOC=30°，
∵直線OA繞O點順時針旋轉30°得到OB，
∴OA=OB，∠BOD=60°，
∴∠OBD=30°，
∴Rt△OAC≌Rt△BOD，
∴OD=AC=-a，BD=OC=-3a，
∵四邊形ACDE為矩形，
∴AE=OC-OD=-3a+a，BE=BD-AC=-3a+a，
∴AE=BE，
∴△ABE為等腰直角三角形，
∴AB=AE，即3-=（-3a+a），
解得a=1，
∴A點坐標為（3，-），
而點A在函數y=的圖象上，
∴k=3×（-）=-3．
故答案為-3．
點評：本題考查了反比例函數綜合題：點在反比例函數圖象上，則點的橫縱坐標滿足其解析式；利用勾股定理、旋轉的性質以及等腰直角三角形的性質進行線段的轉換與計算．