Question

【題目】如圖，已知A（﹣2，0），B（0，4），將線段AB平移到第一象限得線段A′B′，點A′的橫坐標為5，若作直線A′B′交x軸于點C（4，0）．

（1）求線段AB所在直線的解析式；

（2）直線AB上一點P（m，n），求出m、n之間的數量關系；

（3）若點Q在y軸上，求QA′+QB′的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝2x+4；（2）n＝2m+4；（3）QA'+QB'≥4．

【解析】

（1）直接利用待定系數法即可得出結論；
（2）將點P的坐標代入直線AB的解析式中即可得出結論；
（3）先確定出直線A'B'的解析式，進而求出點A'，B'的坐標，再求出點A'關于y軸的對稱點D的坐標，進而求出QA'+QB'的最小值，即可得出結論．

解：（1）設線段AB所在直線的解析式為y＝kx+b，

將A（﹣2，0），B（0，4）代入y＝kx+b中，，

∴，

∴線段AB所在直線的解析式為y＝2x+4；

（2）由（1）知，直線AB的解析式為y＝2x+4，

∵點P（m，n）在直線AB上，

∴n＝2m+4；

（3）如圖，由（1）知，直線AB的解析式為y＝2x+4，

由平移，設直線A'B'的解析式為y＝2x+b'，

∵點C（4，0）在直線A'B'上，

∴2×4+b'＝0，

∴b'＝﹣8，

∴直線A'B'的解析式為y＝2x﹣8，

∵點A′的橫坐標為5，

∴點A'（5，2），

∵A（﹣2，0），

∴點A'是點A向右移動5﹣（﹣2）＝7個單位，再向上平移2個單位所得，

∴點B'也是向右移動5﹣（﹣2）＝7個單位，再向上平移2個單位所得，

∵B（0，4），

∴B'（7，6），

作點A'關于y軸的對稱點D（﹣5，2），

連接B'D，交y軸于Q，此時，QA'+QB'最小＝B'D＝

∴QA'+QB'≥4．