Question

如圖，直線AB交x軸正半軸于點A（a，0），交y軸正半軸于點B（0，b），且a、b滿足 。

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）D為OA的中點，連接BD，過點O作OE⊥ BD于 F，交AB于E，求證∠BDO=∠EDA；

（3）如圖，P為x軸上A點右側任意一點，以BP為邊作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直線MA交y軸于點Q，當點P在x軸上運動時，線段OQ的長是否發生變化？若不變，求其值；若變化，求線段OQ的取值范圍．

Answer 1

（1）A（4，0），B（0，4）；（2）證明見解析；（3）無論P點怎么動OQ的長不變．

【解析】

試題分析：①首先根據已知條件和非負數的性質得到關于a、b的方程，解方程組即可求出a，b的值，也就能寫出A，B的坐標；

②作出∠AOB的平分線，通過證△BOG≌△OAE得到其對應角相等解決問題；

③過M作x軸的垂線，通過證明△PBO≌△MPN得出MN=AN，轉化到等腰直角三角形中去就很好解決了．

試題解析：①∵

∴a=4，b=4，

∴A（4，0），B（0，4）；

（2）證：作∠AOB的角平分線，交BD于G，

∴∠BOG=∠OAE=45°，OB=OA，

∠OBG=∠AOE=90°-∠BOF，

∴△BOG≌△OAE，

∴OG=AE．

∵∠GOD=∠EAD=45°，OD=AD，

∴△GOD≌△EDA．

∴∠GDO=∠ADE．

（3）過M作MN⊥x軸，垂足為N．

∵∠BPM=90°，

∴∠BPO+∠MPN=90°．

∵∠AOB=∠MNP=90°，

∴∠BPO=∠PMN，∠PBO=∠MPN．

∵BP=MP，

∴△PBO≌△MPN，

MN=OP，PN=AO=BO，

OP=OA+AP=PN+AP=AN，

∴MN=AN，∠MAN=45°．

∵∠BAO=45°，

∴∠BAO+∠OAQ=90°

∴△BAQ是等腰直角三角形．

∴OB=OQ=4．

∴無論P點怎么動OQ的長不變．

考點：1.全等三角形的判定與性質；2.非負數的性質：絕對值；3.非負數的性質：算術平方根．