Question

已知a、b、c為整數，且滿足3+a²+b²+c²＜ab+3b+2c，求(

1

a

+

1

b

+

1

c

)abc的值．

Answer 1

分析：由a、b、c為整數，可得應把所給不等式的右邊減1，整理為用“≤”表示的形式，進而把得到的不等式整理為一邊為0的形式，把另一邊整理3個不含分數的完全平方式子的和的形式，讓底數為0可得a，b，c的值，進而代入代數式求解即可．

解答：解：由a、b、c均為整數，a²+b²+c²+3＜ab+3b+2c，得
a²+b²+c²+3≤ab+3b+2c-1
∴4a²+4b²+4c²+12≤4ab+12b+8c-4
（4a²-4ab+b²）+（3b²-12b+12）+（4c²-8c+4）≤0
（2a-b）²+3（b²-4b+4）+4（c²-2c+1）≤0
（2a-b）²+3（b-2）²+4（c-1）²≤0
∴2a-b=0，b-2=0，c-1=0，
解得 a=1，b=2，c=1，
∴(

1

a

+

1

b

+

1

c

)abc=

25

4

．

點評：考查配方法的應用；把所給不等式利用“整數”思想整理為3個完全平方式的和是解決本題的難點．