Question

【題目】（問題情境）

如圖①，在△ABC中，AB＝AC，點D、E分別為線段AB、AC上的點，且DE∥BC．將△ADE繞點A旋轉一定的角度后得到△AD′E′,如圖②．

（1）求證：△ABD′≌△ACE′．

（深入研究）

如圖③，,,．

（2）若點D′在線段BE′上，求△BCE′的面積．

（3）若點B、D′、E′不在同一直線上，且點在內，順次連結C、B、D′、E′四點，則四邊形CBD′E′的面積是否改變，若改變，請求出改變后的面積；若不變，請說明理由．

（拓展延伸）

（4）如圖④，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠D＝∠C≠90°．請用沒有刻度的直尺和圓規畫出滿足下列條件的四邊形A′B′CD．

條件1：利用一次旋轉變換改變線段AB的位置，得到對應線段A′B′．

條件2：連結A′D、B′C，使得四邊形A′B′CD的面積與四邊形ABCD的面積相等．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）6；（3）不變，理由見解析；（4）見解析

【解析】

①根據旋轉后角和線段不變可證明出△ABD′≌△ACE′．

②根據全等三角形對應邊，對應角相等可得出是直角三角形，根據勾股定理求出x或關于x的一個等式，從而可以求出的面積．

③根據全等和面積的加減法可求出四邊形CBD′E′的面積不變

④借助第三問的結論構造出兩個三角形，即可畫出圖形．

（1）由題意得：

∴

2）同理（1）可得

∴

∵,,

∴

∴

∴

，設

+=

化簡得：

∴

（3）不變

理由如下：

∵,,

∴△ABC的面積為8，△的面積為2

∵

∴

∴=

∴的大小不變

（4）如圖，

如圖所示的四邊形A′B′CD就是所畫的四邊形