Question

二次函數y=4x²-4ax+a²-2a+2（0≤x≤2）的最小值為3，則a的值為

a=1-

2

或5+

10

．

Answer 1

分析：先將拋物線的解析式化為頂點式為y=4（x-

1

2

a）²-2a+2，分三種情況考慮：對稱軸在x=0的左邊，對稱軸在0到2的之間，對稱軸在x=2的右邊，當對稱軸在x=0的左邊和對稱軸在x=2的右邊時，可根據二次函數的增減性來判斷函數取最小值時x的值，然后把此時的x的值與y=3代入二次函數解析式即可求出a的值；當對稱軸在0到2的之間時，頂點為最低點，令頂點的縱坐標等于3，列出關于a的方程，求出方程的解即可得到滿足題意a的值．

解答：解：∵y=4x²-4ax+a²-2a+2，
∴y=4（x-

1

2

a）²-2a+2，
分三種情況：
當

1

2

a＜0即a＜0時，二次函數y=4x²-4ax+a²-2a+2在0≤x≤2上為增函數，
所以當x=0時，y有最小值為3，把（0，3）代入y=4x²-4ax+a²-2a+2中解得：a=1-

2

，1+

2

（舍去）；
當

1

2

a＞2即a＞4時，二次函數y=4x²-4ax+a²-2a+2在0≤x≤2上為減函數，
所以當x=2時，y有最小值為3，把（2，3）代入y=4x²-4ax+a²-2a+2中解得：a=5+

10

，5-

10

舍去；
當0≤

1

2

a≤2即0≤a≤4時，此時拋物線的頂點為最低點，
所以頂點的縱坐標為

16(a 2-2a+2)-16a2

16

=3，解得：a=-

1

2

，舍去．
綜上，a的值為a=1-

2

，a=5+

10

．
故答案為：1-

2

，5+

10

．

點評：本題考查二次函數的增減性和二次函數最值的求法，是一道綜合題．求二次函數最值時應注意頂點能否取到．