Question

如圖，△ABC內接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=BC．
（1）求∠BAC的度數；
（2）將△ACD沿AC折疊為△ACF，將△ABD沿AB折疊為△ABG，延長FC和GB相交于點H；求證：四邊形AFHG是正方形；
（3）若BD=6，CD=4，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OB、OC，由垂徑定理知E是BC的中點，而OE=BC，可判定△BOC是直角三角形，則∠BOC=90°，根據同弧所對的圓周角和圓心角的關系即可求得∠BAC的度數；
（2）由折疊的性質可得到的條件是：①AG=AD=AF，②∠GAF=∠GAD+∠DAF=2∠BAC=90°，且∠G=∠F=90°；由②可判定四邊形AGHF是矩形，聯立①的結論可證得四邊形AGHF是正方形；
（3）設AD=x，由折疊的性質可得：AD=AF=x（即正方形的邊長為x），BG=BD=6，CF=CD=4；進而可用x表示出BH、HC的長，即可在Rt△BHC中，由勾股定理求得AD的長．
解答：（1）解：連接OB和OC；
∵OE⊥BC，∴BE=CE；
∵OE=BC，∴∠BOC=90°，∴∠BAC=45°；（2分）

（2）證明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°；
由折疊可知，AG=AF=AD，∠AGH=∠AFH=90°，
∠BAG=∠BAD，∠CAF=∠CAD，（3分）
∴∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°；
∴∠GAF=∠BAG+∠CAF+∠BAC=90°；
∴四邊形AFHG是正方形；（5分）

（3）解：由（2）得，∠BHC=90°，GH=HF=AD，GB=BD=6，CF=CD=4；
設AD的長為x，則BH=GH-GB=x-6，CH=HF-CF=x-4．（7分）
在Rt△BCH中，BH²+CH²=BC²，∴（x-6）²+（x-4）²=10²；
解得，x₁=12，x₂=-2（不合題意，舍去）；
∴AD=12． （8分）
點評：此題主要考查了垂徑定理、勾股定理、正方形的判定和性質以及圖形的翻折變換等知識，能夠根據折疊的性質得到與所求相關的相等角和相等邊是解答此題的關鍵．