Question

如圖所示，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=75°，AD，CF分別是BC、AB邊上的高且相交于點P，∠ABC的平分線BE分別交AD、CF于M、N．
（1）試找出圖中所有的等腰三角形，請直接寫出來；
（2）若MD=2cm，求DC的長．

Answer 1

分析：（1）由已知條件，根據三角形內角和等于180、角的平分線的性質求得各個角的度數，然后利用等腰三角形的判定進行找尋，注意做到由易到難．
（2）BM=2MD，AM=BM，則AD=3ND=6cm，易證DC=AD=6cm．

解答：解：（1）△ADC，△AMB，△BNC，△MNP，△ABE．理由如下：
∵∠ABC=60°，∠BAC=75°，AD，CF分別是BC，AB邊上的高
∴∠DAC=45°，
又∵∠ACB=45°
∴△ADC為等腰三角形．
∵∠ABC的平分線BE分別交AD，CF于M，N
∴∠ABM=30°，
又∵∠BAM=30°
∴△AMB為等腰三角形．
由題意可知∵∠NBC=∠NCB=30°
∴△BNC為等腰三角形．
∠PMN=∠MNP=60°
∴△MNP為等腰三角形．
∵∠ABE=30°，∠BAC=75°
∴∠BEA=75°
∴△ABE為等腰三角形．

（2）在直角三角形BDM中，
∵MD=2cm，∠MBD=30°
∴BM=4cm
在等腰△AMB中，BM=AM
則AD=AM+MD=6cm，
在等腰直角三角形ADC中
AD=DC
則DC=6cm．

點評：本題考查了等腰三角形的性質和判定、角的平分線的性質及三角形內角和定理；由已知條件利用相關的性質求得各個角的度數是正確解答本題的關鍵．