Question

【題目】（1）如圖①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝12，則AB的長度為　 ；

（2）如圖②，⊙O的半徑為16，弦AB＝16，M是AB的中點，P是⊙O上一動點，求PM的最大值；

（3）如圖③，在△ABC中AB＝AC＝8，∠CAB＝120°，D是BC的中點，E是平面內一點，且ED＝2，連接BE，將EB繞點E逆時針旋轉120°，得到EB′，連接CB′、BB′，四邊形ABB′C的面積是否存在最大值，若存在，求出四邊ABB′C的面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）PM的最大值為16+8．（3）存在，四邊形ABB′C的面積的最大值＝24+40．

【解析】

（1）如圖1中，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AB即可．

（2）如圖2中，連接OA，OB，OM，OP．首先證明△OAB是等邊三角形，再根據PM≤OP+OM求出OM即可解決問題．

（3）如圖3中，連接AD，AE，作DH⊥AB于H．首先證明△ABE∽△CBB′，推出△ABE的面積最大時，△CBB′的面積最大，此時四邊形ABB′C的面積最大，求出△AEB的面積的最大值即可解決問題．

解：（1）如圖1中，作AH⊥BC于H．

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AH⊥BC，

∴BH＝CH＝BC＝6，∠B＝∠C＝30°，

在Rt△ABH中，AB＝

故答案為4．

（2）如圖2中，連接OA，OB，OM，OP．

∵OA＝OB＝AB＝16，

∴△OAB是等邊三角形，

∵AM＝BM，

∴OM⊥AB，

OM＝OAsin60°＝8，

∵PM≤OM+OP，

∴PM≤16+8，

∴PM的最大值為16+8．

（3）如圖3中，連接AD，AE，作DH⊥AB于H．

∵AC＝AB＝8，∠CAB＝120°，CD＝DB，

∴AD⊥BC，∠DAB=∠CAB＝60°，

∴AD＝ABcos60°＝4，DH＝ADsin60°＝2，

∵△ABC，△EBB′都是頂角為120°的等腰三角形，

∴∠ABC＝∠EBB′＝30°，，

∴∠ABE＝∠CBB′，

∴△ABE∽△CBB′，

∴△ABE的面積最大時，△CBB′的面積最大，此時四邊形ABB′C的面積最大，

∵DE＝2，

∴點E的運動軌跡是以D為圓心DE為半徑的圓上運動，

當點E在HD的延長線上時，EH＝2+2，且EH⊥AB，此時△ABE的面積最大，最大面積＝×8×（2+2）＝8+8．

∵，

∴△CBB′的面積的最大值＝24+24，

∴四邊形ABB′C的面積的最大值＝×8×4+24+24＝24+40．