Question

7．如圖，CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為點F，AO⊥BC，垂足為E，BC=2$\sqrt{3}$，⊙O的半徑是2．

Answer 1

分析 先根據CD為⊙O的直徑，CD⊥AB得出$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，故可得出∠C=$\frac{1}{2}$∠AOD，由對頂角相等得出∠AOD=∠COE，故可得出∠C=$\frac{1}{2}$∠COE，再根據AO⊥BC可知∠AEC=90°，故∠C=30°，再由直角三角形的性質可得出BF的長，進而求得AB的長，在Rt△OCE中根據∠C=30°即可得出OC的長．

解答 解：（1）∵CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，AF=BF，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AOD，
∵∠AOD=∠COE，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠COE，
∵AO⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴∠C=30°，
∵BC=2$\sqrt{3}$，
∴BF=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∴AB=2BF=2$\sqrt{3}$；
∵AO⊥BC，BC=2$\sqrt{3}$，
∴CE=BE=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∵∠C=30°，
∴OC=$\frac{CE}{cos30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，即⊙O的半徑是2．
故答案是：2．

點評 本題考查的是垂徑定理，熟知“平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧”是解答此題的關鍵．