Question

當自然數n的個位數分別為0，1，2，…，9時，n²，n³，n⁴，n⁵的個位數如表所示：

（1）從所列的表中你能發現什么規律？
（2）若n為自然數，和數1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ不能被10整除，那么n必須滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）根據表格觀察可得；（2）分情況討論，①n=4k，②n=4k+1，③n=4k+2，④n=4k+3（k為自然數）來討論，結合表格的規律，計算和數最后數字，即可判斷能否被10 整除，從而找出n滿足的條件．

解答：解：（1）當自然數n的個位數分別為0、1、5、6時，n²，n³，n⁴，n⁵的個位數也是0、1、5、6；
當自然數n的個位數為4、9時，n²，n³，n⁴，n⁵的個位數是4、6，9、1交替．
（2）分n=4k，4k+1，4k+2，4k+3（k為自然數）來討論，
①當n=4k時，1981ⁿ、1982ⁿ、1983ⁿ、1984ⁿ的個位數字分別是1、6、1、6，則1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ個位數字為4，
故10 不能整除1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ；
②當n=4k+1時，1981ⁿ、1982ⁿ、1983ⁿ、1984ⁿ的個位數字分別是1、2、3、4，則1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ個位數字為0，
故10 能整除1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ；
③當n=4k+2時，1981ⁿ、1982ⁿ、1983ⁿ、1984ⁿ的個位數字分別是1、4、9、6，則1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ個位數字為9，
故10 能整除1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ；
④當n=4k+3時，1981ⁿ、1982ⁿ、1983ⁿ、1984ⁿ的個位數字分別是1、8、7、4，則1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ個位數字為0，
故10 能整除1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ；
故當且僅當n=4k時，和數1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ不能被10整除．

點評：本題考查的是數的整除．如果一個整數的個位數字是0，則能被10整除．