Question

16、將長度為2n（n為自然數，且n≥4）的一根鉛絲折成各邊的長均為整數的三角形，記（a，b，c）為三邊的長分別為a，b，c，且滿足a≤b≤c的一個三角形．
（1）就n=4，5，6的情況，分別寫出所有滿足題意的（a，b，c）．
（2）有人根據（1）中的結論，便猜想：當鉛絲的長度為2n（n為自然數，且n≥4）時，對應（a，b，c）的個數一定是n-3，事實上這是一個不正確的猜想．請寫出n=12時所有的（a，b，c），并回答（a，b，c）的個數．
（3）試將n=12時所有滿足題意的（a，b，c），按照至少兩種不同的標準進行分類．

Answer 1

分析：（1）根據三角形的三邊關系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，可直接寫出符合條件的三角形．
（2）列舉出所有符合條件的三角形，即可解答．
（3）三角形的分類標準有2種，一種是按角來分，一種是按邊來分，據此解答即可．

解答：解：（1）當n=4時，有（2，3，3）；
當n=5時，有（2，4，4），（3，3，4）；
當n=6時，有（2，5，5），（3，4，5），（4，4，4）．

（2）當n=12時，a+b+c=24，且a+b＞c，a≤b≤c，得8≤c≤11，即c=8，9，10，11，
故可得（a，b，c）共12組：
A（2，11，11），B（3，10，11），C（4，9，11），D（5，8，11），E（6，7，11），F（4，10，10），
G（5，9，10），H（6，8，10），I（7，7，10），J（6，9，9），K（7，8，9），L（8，8，8）．

（3）按邊分類：①等腰三角形：A，F，I，J，L；②不等腰三角形：B，C，D，E，G，H，K．
按角分類：①銳角三角形：A，F，G，I，J，K，L；②直角三角形：H；③鈍角三角形：B，C，D，E．

點評：本題考查了三角形的三邊關系，判斷能否組成三角形的簡便方法是看較小的兩個數的和是否大于第三個數，難度適中．