Question

12．如圖，在矩形ABCD中，O為AC中點，EF過點O且EF⊥AC分別交DC于點F，交AB于點E，點G是AE中點且∠AOG=30°，給出以下結論：
①∠AFC=120°；
②△AEF是等邊三角形；
③AC=3OG；
④S_△AOG=$\frac{1}{6}$S_△ABC
其中正確的是①②④．（把所有正確結論的序號都選上）

Answer 1

分析 由矩形的性質得出AB∥CD，∠B=90°，得出∠FCA=∠OAG，由線段垂直平分線的性質得出AF=CF，得出∠FAC=∠FCA，由直角三角形的性質得出OG=$\frac{1}{2}$AE=AG，得出∠OAG=∠AOG=30°，求出∠FCA=∠FAC=30°，再由三角形內角和定理得出①正確；求出∠FAE=∠AEO=∠AFE=60°，得出△AEF是等邊三角形，②正確；由含30°角的直角三角形的性質和勾股定理得出OA=$\sqrt{3}$OE=$\sqrt{3}$OG，得出AC=2OA=2$\sqrt{3}$OG，③不正確；由中點的性質得出S_△AOG=$\frac{1}{2}$S_△AOE，證明△AOE∽△ABC，得出$\frac{{S}_{△AOE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{3}$，得出S_△AOG=$\frac{1}{6}$S_△ABC，④正確，即可得出結論．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠B=90°，
∴∠FCA=∠OAG，
∵O為AC中點，EF⊥AC，
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠FCA，
∵點G是AE中點且∠AOG=30°，
∴OG=$\frac{1}{2}$AE=AG，
∴∠OAG=∠AOG=30°，
∴∠FCA=∠FAC=30°，
∴∠AFC=180°-30°-30°=120°，①正確；
∵∠FAE=30°+30°=60°，∠AEO=90°-30°=60°，
∴∠AFE=60°，
∴△AEF是等邊三角形，②正確；
∵∠OAG=30°，EF⊥AC，
∴AE=2OE=2OG，
∴OA=$\sqrt{3}$OE=$\sqrt{3}$OG，
∴AC=2OA=2$\sqrt{3}$OG，③不正確；
∵點G是AE中點，
∴S_△AOG=$\frac{1}{2}$S_△AOE，
∵∠AOE=90°=∠B，∠OAE=∠BAC，
∴△AOE∽△ABC，相似比為$\frac{OE}{BC}$=$\frac{OE}{\frac{1}{2}AC}$=$\frac{OE}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△AOE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{1}{3}$，
∴S_△AOG=$\frac{1}{6}$S_△ABC，④正確；
故答案為：①②④．

點評 本題考查了矩形的性質、等邊三角形的判定與性質、含30°角的直角三角形的性質、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線性質、相似三角形的判定與性質以及三角形面積的計算；本題綜合性強，有一定難度．