Question

（1999•河南）已知正三角形的邊長為a，那么它的內切圓與外接圓組成的圓環的面積S=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據題意畫出圖形，分別求出兩圓的半徑，再分別求出兩圓的面積，兩圓的面積之差即為內切圓與外接圓組成的圓環的面積．
解答：解：如圖所示，BC=a，
連接OB、OC，過O作OD⊥BC；
∵△ABC是正三角形，
∴∠BOC==120°，
∵OB=OC，OD⊥BC，
∴∠BOD=∠BOC=×120°=60°，BD=CD=BC=，
∴OB===；
∵∠BOD=60°，
∴∠DOB=90°-60°=30°，
∴OD=×=，
∴S_大圓=π（OB）²=π（）²=，
S_小圓=π（OD）²=π（）²=，
∴S_圓環=S_大圓-S_小圓=-=．
點評：此題比較復雜，解答此題的關鍵是根據題意畫出圖形，根據正三角形的性質分別求出兩圓的半徑及面積即可解答．