Question

△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，關于x的方程x²-2ax+b²=0的兩根為x₁、x₂，x軸上兩點M、N的坐標分別為（x₁，0）、（x₂，0），其中M的坐標是（a+c，0）；P是y軸上一點，點D（a，-c²）．
（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）若S_△MNP=3S_△NOP，
①求sinB的值；
②判斷△ABC的三邊長能否取一組適當的值，使△MND是等腰直角三角形？如能，請求出這組值；如不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據根與系數的關系及點M的坐標得出a、b、c之間的關系，再根據勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀；
（2）①由S_△MNP=3S_△NOP可得出MN=3ON即MO=4O，再由M點的坐標可求出N點坐標，再由a+c，是方程x²-2ax+b²=0的兩根可得出a、c之間的數量關系，由勾股定理可得出ab之間的關系，再根據銳角三角函數的定義即可求出sinB的值；
②過D作DE⊥x軸于點E，由等腰直角三角形的性質可知NE=EM，DN=DM，再根據兩點之間的距離公式可知DE=c，根據c＞0可得出c的值，由勾股定理可求出a、b的值，進而可得出結論．
解答：解：（1）證明：∵關于x的方程x²-2ax+b²=0的兩根為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=2a，①，
x₁•x₂=b²，②，
∵點M（a+c，0）
∴（a+c）²-2a（a+c）+b²=0（1分）
∴a²+2ac+c²-2a²-2ac+b²=0，
∴b²+c²=a²．    （1分）
由勾股定理的逆定理得：△ABC為直角三角形且∠A=90°；          （1分）

（2）①如圖所示；
∵S_△MNP=3S_△NOP
∴MN=3ON即MO=4ON（1分）
又M（a+c，0），
∴
∴a+c，是方程x²-2ax+b²=0的兩根
∴，
∴（1分）
由（1）知：在△ABC中，∠A=90°
由勾股定理得，
∴sinB=（1分）
②能．理由如下：（1分）
過D作DE⊥x軸于點E則NE=EM，DN=DM，
要使△MND為等腰直角三角形，只須ED=MN=EM
∵M（a+c，0），D（a，-c²），
∴DE=c²，
EM=c
∴c²=c，
又c＞0，
∴c=1               （1分）
由于c=a   b=a，
∴a=，b=，（1分）
∴當a=，b=，c=1時，△MNP為等腰直角三角形．         （1分）
點評：本題考查的是勾股定理的逆定理、直角三角形的性質、三角形的面積及根與系數的關系，涉及面較廣，難度較大．