Question

（2010•通州區一模）如圖，平行四邊形ABCD中，以A為圓心，AB為半徑的圓交AD于F，交BC于G，延長BA交圓于E．
（1）若ED與⊙A相切，試判斷GD與⊙A的位置關系，并證明你的結論；
（2）在（1）的條件不變的情況下，若GC=CD=5，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先得出結論，然后證明，連接AG，由角的等量關系可以證出∠1=∠2，然后證明△AED≌△AGD得到∠AGD=90°，
（2）由（1）知AG⊥GD，根據角間的等量關系，解出∠6，算出AD．
解答：結論：GD與⊙O相切，（1分）
證明：連接AG，

∵點G、E在圓上，
∴AG=AE．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC．
∴∠B=∠1，∠2=∠3．
∵AB=AG，
∴∠B=∠3．
∴∠1=∠2．（2分）
在△AED和△AGD
，
∴△AED≌△AGD．
∴∠AED=∠AGD．（3分）
∵ED與⊙A相切，
∴∠AED=90°．
∴∠AGD=90°．
∴AG⊥DG．
∴GD與⊙A相切．（4分）

（2）∵GC=CD=5，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC，∠4=∠5，AB=AG=5．（5分）
∵AD∥BC，
∴∠4=∠6．
∴∠5=∠6=∠B．
∴∠2=2∠6．
∴∠6=30°．
∴AD=10．（6分）
點評：本題考查了切線的判定，全等三角形判定和平行四邊形的性質等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．