Question

【題目】如圖，⊙O中，弦AB、CD相交點P，弦CA、BD的延長線交于S，∠APD＝2m°，∠PAC＝m°+15°．

（1）求∠S的度數；

（2）連AD，BC，若，求m的值．

Answer 1

【答案】(1) 30°;(2) m＝45

【解析】

（1）由圓周角定理可知：∠PAC＝∠PDB＝m°+15°，從而可知∠PDS＝∠PAS，由于∠APD＝2m°，利用四邊形內角和即可得出∠S的度數；

（2）過點C作CE⊥BD于點E，由圓內接四邊形的性質可知：∠DAS＝∠SBC，從而可證明△SAD∽△SBC，從而可求出ED、CE的長度，從而可得出∠ECD的度數，進而求出m的值．

（1）由圓周角定理可知：∠PAC＝∠PDB＝m°+15°，

∴∠PDS＝∠PAS＝180﹣（m°+15°）＝165°﹣m°，

∵∠APD＝2m°，

∴∠S＝360°﹣∠PDS﹣∠PAS﹣∠APD

＝360°﹣2（165°﹣m°）﹣2m°

＝30°，

（2）過點C作CE⊥BD于點E，

由圓內接四邊形的性質可知：∠DAS＝∠SBC，

∵∠S＝∠S，

∴△SAD∽△SBC，

∴，

設SD＝1，SC＝，

∵∠S＝30°，

,

,

,

，

∴∠ECD＝30°，

∴∠EDC＝60°，

∴m°+15°＝60°，

∴m＝45.