Question

如圖，點P在圓O外，PA與圓O相切于A點，OP與圓周相交于C點，點B與點A關于直線PO對稱，已知OA=4，PA=4

3

．求：
（1）∠POA的度數；
（2）弦AB的長；
（3）陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）根據AP是圓的切線，則得到△OAP是直角三角形，根據OA，PA的值，就可以∠POA的度數；
（2）AB⊥PO，設AB與PO相交于點D，則AB=2AD，在直角△OAD中，根據三角函數就可以求出AD的長，從而求出AB的長；
（3）設陰影部分面積為s，則S=S_△OAP-S_扇形AOC，分別求出△OAP與扇形AOC的面積就可以求出．

解答：解：（1）∵PA是圓O的切線，切點是A．
∴OA⊥PA．
在Rt△APO中，tan∠POA=

PA

OA

=

3

，
∴∠POA=60°；3分

（2）設AB與PO相交于點D，如圖，
∵點B與點A關于直線PO對稱，
∴AB⊥PO，且AB=2AD，
在Rt△ADO中，AD=OAsin60°=2

3

，
∴AB=2AD=4

3

；4分

（3）設陰影部分面積為s，
則S=S_△OAP-S_扇形AOC，
∵S_△OAP=8

3

，S_扇形AOC=

8π

3

，
∴S=8（

3

-

π

3

）．3分

點評：本題主要考查了垂徑定理，三角函數，求陰影部分的面積可以轉化為一些規則圖形的面積的和或差來計算．