Question

如圖，點(diǎn)P在圓O外，PA與圓O相切于A點(diǎn)，OP與圓周相交于C點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線PO對(duì)稱，已知OA＝4，PA＝4．

求：（1）∠POA的度數(shù)；

（2）弦AB的長(zhǎng)；

（3）陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．

 

Answer 1

【答案】

（1）60°；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）由切線的性質(zhì)得直角三角形OAP，應(yīng)用正切函數(shù)即可求得∠POA的度數(shù)；（2）根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，應(yīng)用垂徑定理和余弦函數(shù)即可求得弦AB的長(zhǎng)；（3）根據(jù)轉(zhuǎn)換思想疳陰影面積轉(zhuǎn)化為求解即可.

試題解析：（1）∵PA切圓與A，∴OA⊥PA.

又∵OA＝4，PA＝， ∴. ∴∠POA = 60°.

（2）設(shè)AB與OP的交點(diǎn)為D，

∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線PO對(duì)稱，∴AD=BD.

∵OC為半徑，AD=BD，∴OC⊥AB. ∴∠OAD=90°－∠AOD=30°.

∴。∴AB=2AD=.

（3）∵，，

∴陰影面積=.

考點(diǎn)：1.切線的性質(zhì)；2.銳角三角函數(shù)定義；3.特殊角的三角函數(shù)值；4.對(duì)稱的性質(zhì)；5.垂徑定理；6.扇形面積；7.轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用.