Question

如圖，AB∥CD，∠CAB=108°，AC=2．
（1）用直尺和圓規作∠C的平分線CE，交AB于E，并在CD上取一點F，使AC=AF，再連接AF，交CE于K；（要求保留作圖痕跡，不必寫出作法）
（2）依據現有條件，直接寫出圖中所有相似的三角形，并求出AK．（圖中不再增加字母和線段，不要求證明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先作∠C的平分線CE：以點C為圓心，以任意長為半徑畫弧；再以此弧與∠C兩邊的交點為圓心，以大于這兩個交點連線的一半為半徑畫弧，過此兩弧的交點作射線CE即可；以點A為圓心，以AC的長為半徑畫弧，弧與CD的交點即為點F；
（2）根據平行于三角形的一邊的直線截三角形的另兩邊或另兩邊的延長線所得三角形與原三角形相似，可得△EAK∽△CFK；由平行線的內錯角相等、角平分線材的定義可得△ACE是等腰三角形，可得∠AFC=∠ACF=72°，易得∠ACK=∠AEC=∠CAF=36°，即可得△CKF∽△ACF∽△EAK，△CAK∽△CEA．
解答：解：（1）CE作法正確得（2分），F點作法正確得（1分），K點標注正確得（1分）；

（2）△CKF∽△ACF∽△EAK；△CAK∽△CEA
理由：∵AB∥CD，∠CAB=108°，
∴∠ACD=72°，
∴∠ECF=∠AEC，
∵∠ECF=∠ACE=∠ACF=36°，
∴∠ACE=∠AEC=36°，
∵AC=AF，
∴∠AFC=∠ACF=72°，
∴∠CKF=72°，∠CAF=36°，
∴△CKF∽△ACF∽△EAK，△CAK∽△CEA．
∵△CKF∽△ACF，
∴=，
∵CK=CF=AK，
∴=，
解得：AK=-1±，（AK不可能是負數），
∴AK=-1．
點評：此題考查了相似三角形的判定定理：平行于三角形的一邊的直線截三角形的另兩邊或另兩邊的延長線所得三角形與原三角形相似；有兩個角對應相等的三角形相似．此題還考查了尺規作圖法，解題時要注意作法．