Question

【題目】如圖，∠BAC＝30°，點 D 為∠BAC內一點，點 E，F 分別是AB，AC上的動點．若AD＝9，則△DEF周長的最小值為____．

Answer 1

【答案】9；

【解析】

由對稱的性質可得：DE=EM，DF=FN，AM=AD=AN=9，∠MAE=∠DAE，∠NAF=∠DAF，然后根據兩點之間線段最短可得此時MN即為△DEF的周長的最小值，然后根據等邊三角形的判定定理及定義即可求出結論．

解：過點D分別作AB、AC的對稱點M、N，連接MN分別交AB、AC于點E、F，連接DE、DF、AD、AM和AN

由對稱的性質可得：DE=EM，DF=FN，AM=AD=AN=9，∠MAE=∠DAE，∠NAF=∠DAF

∴△DEF的周長=DE＋EF＋DF= EM＋EF＋FN=MN，∠MAE＋∠NAF=∠DAE＋∠DAF=∠BAC=30°

∴根據兩點之間線段最短，此時MN即為△DEF的周長的最小值，∠MAN=∠MAE＋∠NAF＋∠BAC=60°

∴△MAN為等邊三角形

∴MN=AM=AN=9

即△DEF周長的最小值為9

故答案為：9．