Question

已知：如圖，矩形紙片ABCD中，AB=5，BC=3，點E在AD上，且AE=1，點P是線段AB上一動點．折疊紙片，使點P與點E重合，展開紙片得折痕MN，過點P作PQ⊥AB，交MN所在的直線于點Q．設x=AP，y=PQ，則y關于x的函數圖象大致為（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：易證△PFN∽△PAE∽△QPN，根據相似三角形對應邊的比相等，即可求得y與x的函數關系式，利用函數的性質即可選擇．

解答：解：連接EP交NQ與點F，則NQ是EP的中垂線，
在直角△AEP中，EP=

AE2+AP2

=

x2+1

，
則EF=PF=

x2+1

2

，
∵∠A=∠NFP=90°，∠NPF=∠EPA，
∴△PFN∽△PAE，
∴

PF

PA

=

PN

PE

，即

x2+1

2x

=

PN

x2+1

，
則PN=

x2+1

2x

，
∵直角△NPQ中，PF⊥NQ，
∴△QPN∽△PFN
∴△QPN∽△PAE，
∴

PQ

AP

=

PN

AE

，即

y

x

=

x2+1

2x

，則y=

1

2

x²+

1

2

．
則函數圖象是D．
故選D．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，正確求得函數的解析式是關鍵．