Question

已知：如圖，矩形紙片ABCD的邊AD=3，CD=2，點P是邊CD上的一個動點（不與點C重合，把這張矩形紙片折疊，使點B落在點P的位置上，折痕交邊AD于點M，折痕交邊BC于點N．
（1）寫出圖中的全等三角形．設CP=x，AM=y，寫出y與x的函數關系式；
（2）試判斷∠BMP是否可能等于90°．如果可能，請求出此時CP的長；如果不可能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由折疊的性質可得：△MBN≌△MPN；
∵△MBN≌△MPN，
∴MB=MP，
∴MB²=MP²，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠D=90°，
∵AD=3，CD=2，CP=x，AM=y，
∴DP=2-x，MD=3-y，AB=2，
Rt△ABM中，MB²=AM²+AB²=y²+4，
同理：MP²=MD²+PD²=（3-y）²+（2-x）²，
∴y²+4=（3-y）²+（2-x）²，
∴y與x的函數關系式為：y=；

（2）∠BMP=90°．
若∠BMP=90°，
則∠AMB+∠DMP=90°，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠DMP，
在△ABM和△DMP中，
，
∴△ABM≌△DMP（AAS），
∴AM=DP，AB=DM，
∴2=3-y，
解得：y=1，
∴1=2-x，
解得：x=1，
∴當CP=1時，∠BMP=90°．
分析：（1）由折疊的性質可得：△MBN≌△MPN，即可得MB=MP，又由四邊形ABCD是矩形，可得AB=CD，∠A=∠D=90°，然后分別在Rt△ABM與Rt△DMP中，利用勾股定理，可得MB²=AM²+AB²=y²+4，MP²=MD²+PD²=（3-y）²+（2-x）²，繼而求得y與x的函數關系式；
（2）若∠BMP=90°，可證得△ABM≌△DMP，即可得AM=DP，AB=DM，則可求得CP的長．
點評：此題考查了折疊的性質、矩形的性質、全等三角形的判定與性質以及勾股定理．此題難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．