Question

如圖1，OA=2，OB=4，以A點為頂點、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC．
（1）求C點的坐標；
（2）如圖2，P為y軸負半軸上一個動點，當P點向y軸負半軸向下運動時，以P為頂點，PA為腰作等腰Rt△APD，過D作DE⊥x軸于E點，求OP-DE的值．

Answer 1

分析：①如圖1，過C作CM⊥x軸于M點，則可以求出△MAC≌△OBA，可得CM=OA=2，MA=OB=4，故點C的坐標為（-6，-2）．
②如圖2，過D作DQ⊥OP于Q點，則DE=OQ
利用三角形全等的判定定理可得△AOP≌△PQD（AAS）
進一步可得PQ=OA=2，即OP-DE=2．

解答：解：（1）如圖1，過C作CM⊥x軸于M點，
∵∠MAC+∠OAB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，
則∠MAC=∠OBA，
在△MAC和△OBA中

∠CMA=∠AOB=90° ∠MAC=∠OBA AC=AB

∴△MAC≌△OBA（AAS），
∴CM=OA=2，MA=OB=4，
∴OM=OA+AM=2+4=6，
∴點C的坐標為（-6，-2）．

（2）如圖2，過D作DQ⊥OP于Q點，則DE=OQ
∴OP-DE=OP-OQ=PQ，
∵∠APO+∠QPD=90°，
∠APO+∠OAP=90°，
∴∠QPD=∠OAP，
在△AOP和△PQD中，

∠AOP=∠PQD=90° ∠OAP=∠QPD AP=PD

，
∴△AOP≌△PQD（AAS）．
∴PQ=OA=2．
即OP-DE=2．

點評：本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，關鍵還要巧妙作出輔助線，再結合坐標軸才能解出，本題難度較大．