Question

如圖，直線OA與反比例函數的圖象交于點A（3，3），向下平移直線OA，與反比例函數的圖象交于點B（6，m）與y軸交于點C，
（1）求直線BC的解析式；
（2）求經過A、B、C三點的二次函數的解析式；
（3）設經過A、B、C三點的二次函數圖象的頂點為D，對稱軸與x軸的交點為E．
問：在二次函數的對稱軸上是否存在一點P，使以O、E、P為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據點A的坐標，即可確定直線OA以及反比例函數的解析式，根據所得反比例函數解析式即可確定點B的坐標，而OA、BC平行，那么它們的斜率相同，由此可確定直線BC的解析式；
（2）根據直線BC的解析式可求得C點坐標，然后可利用待定系數法求得該拋物線的解析式；
（3）根據（2）所得拋物線的解析式，可求得頂點D的坐標，即可得到BD、BC、CD的長，利用勾股定理逆定理即可判定△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°，根據拋物線對稱軸方程可得到E點坐標，進而可求得OE的長，若以O、E、P為頂點的三角形與△BCD相似，已知∠BDC=∠PEO=90°，那么有兩種情況需要考慮：
①△PEO∽△BDC，②△OEP∽△BDC．
根據上面兩組不同的相似三角形所得不同的比例線段，即可得到PE的長，進而求出P點的坐標．（需要注意的是P點可能在E點上方也可能在E點下方）

解答：解：（1）由直線OA與反比例函數的圖象交于點A（3，3），
得直線OA為：y=x，雙曲線為：y=

9

x

，
點B（6，m）代入y=

9

x

得m=

3

2

，點B（6，

3

2

），（1分）
設直線BC的解析式為y=x+b，由直線BC經過點B，
將x=6，y=

3

2

，代入y=x+b得：b=-

9

2

，（1分）
所以，直線BC的解析式為y=x-

9

2

；（1分）

（2）由直線y=x-

9

2

得點C（0，-

9

2

），
設經過A、B、C三點的二次函數的解析式為y=ax2+bx-

9

2

將A、B兩點的坐標代入y=ax2+bx-

9

2

，得：

9a+3b- 9 2 =3 36a+6b- 9 2 = 3 2

，（1分）
解得

a=- 1 2 b=4

（1分）
所以，拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+4x-

9

2

；（1分）

（3）存在．
把y=-

1

2

x2+4x-

9

2

配方得y=-

1

2

(x-4)2+

7

2

，
所以得點D（4，

7

2

），對稱軸為直線x=4（1分）
得對稱軸與x軸交點的坐標為E（4，0）．（1分）
由BD=

8

，BC=

72

，CD=

80

，得CD²=BC²+BD²，所以，∠DBC=90°（1分）
又∠PEO=90°，若以O、E、P為頂點的三角形與△BCD相似，則有：
①

OE

BC

=

PE

DB

，即

4

6 2

=

PE

2 2

，得PE=

4

3

，有P₁（4，

4

3

），P₂（4，-

4

3

）
②

OE

DB

=

PE

BC

，即

4

2 2

=

PE

6 2

，得PE=12，有P₃（4，12），P₄（4，-12）（3分）
所以，點P的坐標為（4，

4

3

），（4，-

4

3

），（4，12），（4，-12）．

點評：此題考查了用待定系數法確定函數解析式的方法、函數圖象上點的坐標意義、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性質等知識．要注意的是（3）題中，在相似三角形的對應邊和對應角不確定的情況下需要分類討論，以免漏解．