Question

如圖，拋物線的圖象過(guò)點(diǎn)C（0，1），頂點(diǎn)為Q（2，3）點(diǎn)D在x軸正半軸上，且線段OD=OC
（1）求直線CD的解析式；
（2）求拋物線的解析式；
（3）將直線CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn)E，求證：△CEQ∽△CDO；
（4）在（3）的條件下，若點(diǎn)P是線段QE上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段OD上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：在P點(diǎn)和F點(diǎn)的移動(dòng)過(guò)程中，△PCF的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）；（2）y=x²+2x+1; (3)證明見(jiàn)解析；（4）．

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出直線解析式；
（2）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（3）關(guān)鍵是證明△CEQ與△CDO均為等腰直角三角形；
（4）如圖所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線QE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C″，連接C′C″，交OD于點(diǎn)F，交QE于點(diǎn)P，則△PCF即為符合題意的周長(zhǎng)最小的三角形，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，△PCF的周長(zhǎng)等于線段C′C″的長(zhǎng)度．利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短可以證明此時(shí)△PCF的周長(zhǎng)最小．如圖③所示，利用勾股定理求出線段C′C″的長(zhǎng)度，即△PCF周長(zhǎng)的最小值．
（1）C（0，1），D（1，0）
∴直線CD的解析式為；
（2）設(shè)拋物線解析式為y=a（x－2）²+3，
易得y=（x－2）²+3=x²+2x+1
（3）OC=OD，OC⊥OD，∴△OCD為等腰直角三角形，
對(duì)稱(chēng)軸x=2與CE交于點(diǎn)M，M（2，1）
易知△QMC與△QME是等腰直角三角形
∴△ CQE也是等腰直角三角形
∴△CEQ∽△CDO
（4）存在。
如圖作點(diǎn)C關(guān)于直線QE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C″，連接C′C″，交OD于點(diǎn)F，交QE于點(diǎn)P，則△PCF即為符合題意的周長(zhǎng)最小的三角形，由軸對(duì)稱(chēng)性得：
PC=PC′    CF=C″F
C，C′關(guān)于直線QE對(duì)稱(chēng)
C′（4，5）
又C″（－1，0）   C′C″=
∴△PCF的周長(zhǎng)最小值是