Question

在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點，且∠EDF+∠EAF=180°，求證DE=DF．

Answer 1

分析：過D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，根據角平分線性質求出DN=DM，根據四邊形的內角和定理和平角定義求出∠AED=∠CFD，根據全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可．

解答：證明：過D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，
即∠EMD=∠FND=90°，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN（角平分線性質），∠DME=∠DNF=90°，
∵∠EAF+∠EDF=180°，
∴∠MED+∠AFD=360°-180°=180°，
∵∠AFD+∠NFD=180°，
∴∠MED=∠NFD，
在△EMD和△FND中

∠MED=∠DFN ∠DME=∠DNF DM=DN

，
∴△EMD≌△FND（AAS），
∴DE=DF．

點評：本題考查了全等三角形的判定和角平分線定義的應用，關鍵是正確作輔助線，進一步推出△EMD和△FND全等，通過做此題培養了學生運用定理進行推理的能力．