Question

已知：關于x的方程：mx²-（3m-1）x+2m-2=0．
（1）求證：無論m取何值時，方程恒有實數根；
（2）若關于x的二次函數y=mx²-（3m-1）x+2m-2的圖象與x軸兩交點間的距離為2時，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）分兩種情況討論：①當m=0時，方程為一元一次方程，若能求出解，則方程有實數根；
②當m≠0時，方程為一元二次方程，計算出△的值為非負數，可知方程有實數根．
（2）根據二次函數與x軸的交點間的距離公式，求出m的值，從而得到拋物線的解析式．

解答：解：（1）①當m=0時，原方程可化為x-2=0，解得x=2；
②當m≠0時，方程為一元二次方程，
△=[-（3m-1）]²-4m（2m-2）
=m²+2m+1
=（m+1）²≥0，故方程有兩個實數根；
故無論m為何值，方程恒有實數根．
（2）∵二次函數y=mx²-（3m-1）x+2m-2的圖象與x軸兩交點間的距離為2，
∴

[-(3m-1)]2-4m(2m-2)

|m|

=2，
整理得，m²-m=0，
解得m₁=0（舍去），m₂=1．
則函數解析式為y=x²-2x．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點，熟悉根的判別式及二次函數與x軸的交點間的距離公式是解題的關鍵．