Question

3、已知：關于x的方程x²-kx-2=0．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；
（2）設方程的兩根為x₁，x₂，如果2（x₁+x₂）＞x₁x₂，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）只需證明△＞0即可．
（2）根據一元二次方程根與系數的關系，分別求出兩根之和與兩根之積，根據2（x₁+x₂）＞x₁x₂，代入即可得到關于k的不等式，從而求得k的范圍．

解答：（1）證明：∵關于x的方程x²-kx-2=0中，△=（-k）²-4×（-2）=k²+8＞0，
∴方程有兩個不相等的實數根；

（2）解：設方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=k，x₁•x₂=-2，
代入不等式2（x₁+x₂）＞x₁x₂，得
2k＞-2，
k＞-1．
答：k的取值范圍是k＞-1．

點評：一元二次方程根的情況與判別式△的關系及根與系數的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根；
（4）若一元二次方程有實數根，則x₁+x₂=-$frac{a}$，x₁x₂=$frac{c}{a}$．