Question

△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，如圖，現在△ABC內作一扇形，使扇形半徑都在△ABC的邊上，扇形的弧與△ABC的其他邊相切，則符合條件的扇形的半徑為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據在△ABC內作一扇形，使扇形半徑都在△ABC的邊上，扇形的弧與△ABC的其他邊相切應分三種情況：
（1）以2個頂點A、B為圓心，做扇形，半徑分別為AC和BC的長；
（2）以頂點C為圓心，做扇形，半徑為斜邊上的高；
（3）分別以三個內角平分線與對邊交點為圓心，做三個扇形，求其半徑．
解答：解：∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=5，AB上的高為=．
（1）以A點為圓心，以4為半徑作扇形，扇形與BC邊相切，符合題意；

（2）以點B為圓心，以3為半徑作扇形，扇形與AC邊相切，符合題意；

（3）以點C為圓心，以斜邊上的高為半徑作扇形，扇形與AB邊相切，符合題意；

（4）過點A作∠A的平分線交BC于點E，以CE的長為半徑作扇形，扇形與AC和AB邊相切，
∵tan∠BCA=tan2∠CAE=，
∴tan∠CAE=，
∴半徑AE=tan∠CAE×AC=，故以半徑作扇形，符合題意；

（5）過點C作∠C的平分線交AB于點F，以EF的長為半徑作扇形，扇形與AC和BC邊相切，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ACB．
∴=即=．
∵EF=EC，
∴EF=．
故以半徑作扇形，符合題意；

（6）過點B作∠B的平分線交AC于點O，以OC的長為半徑作扇形，扇形與BC和AB邊相切，
∵tan∠ABC=tan2∠OBC=，
∴tan∠OBC=．
半徑OC=tan∠OBC×BC=，故以半徑作扇形，符合題意；
則符合條件的扇形的半徑為3，4，，，，．
點評：本題主要考查直線與圓的位置關系，在解題過程中應注意一題多解的情況，防止漏解或錯解．