Question

如圖，AB=2AC，BD=2AE，又BD∥AC，點B，A，E在同一條直線上．
（1）求證：△ABD∽△CAE；
（2）如果AC=BD，AD=

3

BD，設(shè)BD=m，求BC的長．

Answer 1

分析：（1）由BD∥AC，點B，A，E在同一條直線上可得出∠DBA=∠CAE，再由AB=2AC，BD=2AE即可得出結(jié)論；
（2）由AC=BD，AD=

3

BD，BD=m可知AB=2AC=2BD=2m，AD=

3

BD=

3

m，在RtABD中利用勾股定理可用m表示出AB的值，由（1）中△ABD∽△CAE可知∠E=90°，進而用m表示出AE、CE的長，再利用勾股定理即可求出BC的長．

解答：證明：（1）∵BD∥AC，點B，A，E在同一條直線上，
∴∠DBA=∠CAE，（1分）  
又∵

AB

AC

=

BD

AE

=2，（2分）
∴△ABD∽△CAE；（1分）

（2）∵AB=2AC=2BD=2m，AD=

3

BD=

3

m，
∴AD²+BD²=3m²+m²=4m²=AB²，
∴∠D=90°（2分）
∵△ABD∽△CAE，
∴∠E=∠D=90°，
∵AE=

1

2

BD=

1

2

m，EC=

1

2

AD=

3

2

m，AB=2BD=2m，
∴在Rt△BCE中，BC²=（AB+AE）²+EC²=（2m+

1

2

m）²+（

3

2

m）²=7m²，
∴BC=

7

m．（4分）

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，根據(jù)題意判斷出△ABD∽△CAE，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例用m表示出AE、AB、CE的長是解答此題的關(guān)鍵．