Question

如圖，AB=2AC，BD=2AE，又BD∥AC，點B，A，E在同一條直線上．
（1）求證：△ABD∽△CAE；
（2）如果AC=BD，AD=BD，設BD=m，求BC的長．

Answer 1

證明：（1）∵BD∥AC，點B，A，E在同一條直線上，
∴∠DBA=∠CAE，
又∵==2，
∴△ABD∽△CAE；

（2）∵AB=2AC=2BD=2m，AD=BD=，
∴AD²+BD²=3m²+m²=4m²=AB²，
∴∠D=90°
∵△ABD∽△CAE，
∴∠E=∠D=90°，
∵AE=BD=，EC=AD=，AB=2BD=2m，
∴在Rt△BCE中，BC²=（AB+AE）²+EC²=（2m+m）²+（m）²=7m²，
∴BC=m．
分析：（1）由BD∥AC，點B，A，E在同一條直線上可得出∠DBA=∠CAE，再由AB=2AC，BD=2AE即可得出結論；
（2）由AC=BD，AD=BD，BD=m可知AB=2AC=2BD=2m，AD=BD=，在RtABD中利用勾股定理可用m表示出AB的值，由（1）中△ABD∽△CAE可知∠E=90°，進而用m表示出AE、CE的長，再利用勾股定理即可求出BC的長．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質及勾股定理，根據題意判斷出△ABD∽△CAE，再根據相似三角形的對應邊成比例用m表示出AE、AB、CE的長是解答此題的關鍵．