Question

（2007•廣安）如圖，已知拋物線y=-x²+2x+3交軸于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C
（1）求點A、B、C的坐標；
（2）若點M為拋物線的頂點，連接BC、CM、BM，求△BCM的面積；
（3）連接AC，在軸上是否存在點P，使△ACP為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據-x²+2x+3=0，解得x₁=3、x₂=-1，即點A（-1，0），B（3，0），根據拋物線y=-x²+2x+3交y軸于點C，可知當x=0時，y=3，所以C（0，3）
（2）拋物線y=-x²+2x+3的點頂為M，根據頂點公式可知M（1，4），過點M作ME⊥AB于E，則ME=4，OE=1，BE=2，OC=3，所以S_△BCM=S_{四邊形COBM}-S_△BOC=3
（3）分情況討論，共有4個點．
（1）以AC為腰：
①當以點A為圓心，AC長為半徑畫弧交x軸于點P₁，p₂（p₁在p₂的右側）
可知P₁（，0）P₂（-，0），交y軸于一點p₅；②以點C為圓心，AC為半徑畫弧交x軸于點P₃，點P₃與點A關于y軸對稱，則點P₃坐標為（1，0），交y軸于兩點p₆，p₇，
（2）以AC為底邊：作AC的垂直平分線交x軸于點p₄垂足為F，利用△AOC∽△AFP₄可求AP₄=5，OP₄=5-1=4，所以P₄（4，0）．
解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+2x+3交x軸于A，B兩點
∴-x²+2x+3=0，
解得x₁=3，x₂=-1
∴點A（-1，0），B（3，0）
又∵拋物線y=-x²+2x+3交y軸于點C，
∴點C（0，3）

（2）∵拋物線y=-x²+2x+3的頂點為M
∴x==1
y=
∴M（1，4）
過點M作ME⊥AB于E，則ME=4，OE=1，
∴BE=OB-OE=3-1=2，OC=3
∴S_△BCM=S_△△BOC=3．

（3）存在點P
1）以AC為腰：
①當以點A為圓心，AC長為半徑畫弧交x軸于點P₁，p₂（p₁在p₂的右側）
AC==，
∴P₁O=，P₂O=
∴P₁（，0）P₂（-，0）
交y軸于p₅與C點關于x軸對稱，坐標為：（0，-3）
②以點C為圓心，AC為半徑畫弧交x軸于點P₃
∴點P₃與點A關于y軸對稱，則點P₃坐標為（1，0），
交y軸于點p₆，p₇兩點，p₆（0，3-），p₇（0，3+）
2）以AC為底邊：作AC的垂直平分線交x軸于點p₄垂足為F，則AF=
∵∠AFP₄=∠AOC=90°
∠CAO=∠P₄AF
∴△AOC∽△AFP₄
∴
∴=
∴AP₄=5，
∴OP₄=5-1=4，
∴P₄（4，0）
∴點P的坐標為：P₁（，0）P₂（-，0）P₃（1，0），P₄（4，0），p₅（0，-3），p₆（0，-3），p₇（0，3+）．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．