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如圖，已知線段AB的同側有兩點C、D滿足∠ACB=∠ADB=60°，∠ABD=90°-

∠DBC．求證：AC=AD．

證明：以AB為軸作△ABC的對稱△ABC′，如圖：
則AC=AC′，∠C=∠C′=60°，∠ABC′=∠ABC，
因為∠ABD=90°-

∠DBC
所以2∠ABD+∠DBC=180°
所以∠ABD+∠DBC+∠ABD=180°
即∠ABC+∠ABD=180°
所以∠ABC′+∠ABD=180°
所以D、B、C′共線
又因為∠D=60°
所以∠DAC=180°-∠C′-∠D=60°=∠D=∠C′
所以△ADC′是等邊三角形，
所以AD=AC′=AC．

練習冊系列答案

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AC=4，等邊△DEF的一邊在直角邊AC上移動，當點E與點C重合時，點D恰好落在AB邊上，
（1）求等邊△DEF的邊長；
（2）請你探索，在移動過程中，線段CE與圖中哪條線段始終保持相等，并說明理由；
（3）若設線段CE為x，在移動過程中，等邊△DEF與Rt△ABC兩圖形重疊部分的面積為y．請你寫出y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

附加題，學完“幾何的回顧”一章后，老師布置了一道思考題：
如圖，點M，N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上，且BM=CN，AM，BN交于點Q．求證：∠BQM=60度．
（1）請你完成這道思考題；
（2）做完（1）后，同學們在老師的啟發下進行了反思，提出了許多問題，如：
①若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換，得到的是否仍是真命題？
②若將題中的點M，N分別移動到BC，CA的延長線上，是否仍能得到∠BQM=60°？
③若將題中的條件“點M，N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上”改為“點M，N分別在正方形ABCD的BC，CD邊上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…
請你作出判斷，在下列橫線上填寫“是”或“否”：①______；②

______；③______．并對②，③的判斷，選擇一個給出證明．