Question

如圖，矩形ABCD的邊AD、AB分別與⊙O相切于點E、F，
（1）求的長；
（2）若，直線MN分別交射線DA、DC于點M、N，∠DMN=60°，將直線MN沿射線DA方向平移，設點D到直線的距離為d，當時1≤d≤4，請判斷直線MN與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE、OF，利用相切證明四邊形AFOE是正方形，再根據弧長公式求弧長；
（2）先求出直線M₁N₁與圓相切時d的值，結合1≤d≤4，劃分d的范圍，分類討論．
解答：解：（1）連接OE、OF，
∵矩形ABCD的邊AD、AB分別與⊙O相切于點E、F，
∴∠A=90°，∠OEA=∠OFA=90°
∴四邊形AFOE是正方形
∴∠EOF=90°，OE=AE=
∴的長==π．

（2）如圖，將直線MN沿射線DA方向平移，當其與⊙O相切時，記為M₁N₁，切點為R，交AD于M₁，交BC于N₁，
連接OM₁、OR，
∵M₁N₁∥MN
∴∠DM₁N₁=∠DMN=60°
∴∠EM₁N₁=120°
∵MA、M₁N₁切⊙O于點E、R
∴∠EM₁O=∠EM₁N₁=60°
在Rt△EM₁O中，EM₁===1
∴DM₁=AD-AE-EM₁=+5--1=4．
過點D作DK⊥M₁N₁于K
在Rt△DM₁K中
DK=DM₁×sin∠DM₁K=4×sin∠60°=2即d=2，
∴當d=2時，直線MN與⊙O相切，
當1≤d＜2時，直線MN與⊙O相離，
當直線MN平移到過圓心O時，記為M₂N₂，點D到M₂N₂的距離d=DK+OR=2+=3＞4，
∴當2＜d≤4時，MN直線與⊙O相交．
點評：本題考查的是直線與圓的位置關系，解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關系完成判定．