Question

7．如圖，已知弧BC的半徑為3，圓心角為120°，圓心為點A．D為弧BC上一動點，以D為旋轉中心，將點B順時針旋轉120°得到點E．若點D從B運動到點C，則點E的運動路徑長為（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$π
• B． 2$\sqrt{3}$π
• C． 12
• D． 9

Answer 1

分析 連接BC、EC、AD、CD．首先證明△CDB≌△CDE，推出CE=BC，在△ABC中，因為AB=AC=3，∠BAC=120°，推出BC=2•AB•cos30°=3$\sqrt{3}$，推出EC=3$\sqrt{3}$，所以點E的運動軌跡是以C為圓心CE為半徑的弧，由此求出圓心角即可解決問題．

解答 解：連接BC、EC、AD、CD．

∵∠BDC=∠BDA+∠ADC=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAD）+$\frac{1}{2}$（180°-∠ADC）=180°-$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠DAC）=180°-60°=120°，
∵∠BDE=120°，
∴∠EDC=360°-∠BDE-∠BDC=120°，
∴∠CDB=∠CDE，
在△CDB和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CD}\\{∠CDB=∠CDE}\\{DB=DE}\end{array}\right.$，
∴△CDB≌△CDE，
∴CE=BC，
在△ABC中，∵AB=AC=3，∠BAC=120°，
∴BC=2•AB•cos30°=3$\sqrt{3}$，
∴EC=3$\sqrt{3}$，
∴點E的運動軌跡是以C為圓心CE為半徑的弧，
∵當點D與點C重合時，∠DCE=120°，
∴$\widehat{BE}$圓心角=120°，
∴點E的運動路徑長=$\frac{120π•3\sqrt{3}}{180}$=2$\sqrt{3}$π，
故選B．

點評 本題考查軌跡，圓心角、弧、弦直徑的關系，弧長公式，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找點E的運動軌跡，所以中考常考題型．