Question

16．已知：如圖1，OB、OC分別為定角（大小不會發生改變）∠AOD內部的兩條動射線
（1）當OB、OC運動到如圖1的位置時，∠AOC+∠BOD=100°，∠AOB+∠COD=30°，求∠AOD的度數．
（2）在（1）的條件下，射線OM、ON分別為∠AOB、∠COD的平分線，當∠COB繞著點O旋轉時（如圖2），下列結論：①∠AOM-∠DON的值不變；②∠MON的度數不變．可以證明，只有一個是正確的，請你作出正確的選擇并求值．
（3）在（1）的條件下（如圖3），OE、OF是∠AOD外部的兩條射線，且∠EOB=∠COF=90°，OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF，當∠BOC繞著點O旋轉時，∠POQ的大小是否會發生變化？若不變，求出其度數；若變化，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據角的定義可知∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠COD+2∠BOC，根據題意得出2∠BOC+30°=100°，求出∠BOC的度數，即可求出∠AOD的度數；
（2）根據角平分線的定義得出∠MON=∠CON+∠BOM+∠BOC=15°+35°=50°；
（3）先求得∠DOE+∠AOF的值，再根據角平分線的定義得出∠POD+∠AOQ，再加上∠AOD即可得∠POQ的值．

解答 解：（1）∵∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠COD+2∠BOC，
∠AOC+∠BOD=100°，∠AOB+∠COD=30°，
∴2∠BOC+30°=100°，
∴∠BOC=35°，
∴∠AOD=∠BOC+∠AOB+∠COD=65°；
（2）②正確，∠MON的度數為50°不變；理由如下：
∵OM、ON分別為∠AOB、∠COD的平分線，
∴∠CON+∠BOM=$\frac{1}{2}$（∠AOB+∠COD）=$\frac{1}{2}$×30°=15°，
∴∠MON=∠CON+∠BOM+∠BOC=15°+35°=50°，
故②正確，∠MON的度數為50°不變；
（3）∠POQ的大小不變為105°，
∵∠DOE+∠AOF=∠EOB+∠COF-∠BOC-∠AOD=90°+90°-35°-65°=80°，
∵OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF，
∴∠POD+∠AOQ=$\frac{1}{2}$（∠EOD+∠AOF）=40°，
∴∠POQ=∠POD+∠AOQ+∠AOD=40°+65°=105°，
故∠POQ的大小不變為110°．

點評 本題主要考查了角的有關計算以及角平分線的定義等知識，熟練掌握角平分線的定義是解決問題的關鍵．