Question

數2⁷²-1能被500與600之間的若干整數整除，請找出三個這樣的整數，它們是

511，513，545

．

Answer 1

分析：將數2⁷²-1進行因式分解，得到2⁷²-1=（2³⁶+1）（2³⁶-1），再進一步分解（2³⁶-1），可得出511與513能整除，再將2¹⁸+1運用完全平方公式因式分解，得出2⁷²-1能被500與600之間整除的所有整數．

解答：解：2⁷²-1=（2³⁶+1）（2³⁶-1）
=（2³⁶+1）（2¹⁸+1）（2¹⁸-1）=（2³⁶+1）（2¹⁸+1）（2 ⁹+1）（2 ⁹-1），
∵2 ⁹+1=512+1=513，2 ⁹-1=513-1=511，
∴511，513都能整除2⁷²-1．
又2¹⁸+1=2¹⁸+2×2 ⁹×1+1
=（2 ⁹+1）²-2×2 ⁹，
=（2 ⁹+1）²-（2 ⁵）²，
=（2 ⁹+1-2 ⁵）（2 ⁹+1+2 ⁵），
=481×545，
∴545能整除2⁷²-1．
故答案為：511，513，545．

點評：此題主要考查了因式分解法將一個高次數據進行因式分解，這種思想經常用于解決類似問題．