Question

如圖，☉O直徑AB=10，C為☉o上一點，AC=6，弦CG平分∠ACB交AB于點D，DE∥BC，DF∥AC，分別次AC、BC于點E、F．
（1）求證：四邊形EDFC是正方形．
（2）求正方形EDFC的邊長以及線段AD的長度；
（3）求弦AG的長度．

Answer 1

分析：（1）先求出四邊形EDFC是平行四邊形，再根據直徑所對的圓周角是直角求出∠ECF=90°，從而得到四邊形EDFC是矩形，然后根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等求出DE=DF，從而得證；
（2）設正方形的邊長為x，表示出AE=6-x，再根據勾股定理列式求出BC，然后利用∠BAC的正切值列式計算即可求出正方形的邊長，再求出AE，然后利用勾股定理列式計算即可求出AD；
（3）根據正方形的性質求出CD，再根據同弧所對的圓周角相等可得∠B=∠G，∠DAG=∠DCB，然后利用兩角對應相等，兩三角形相似求出△ADG和△CDB相似，根據相似三角形對應邊成比例列式計算即可求出AG．

解答：（1）證明：∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四邊形EDFC是平行四邊形，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ECF=90°，
∴?EDFC是矩形，
∵CG平分∠ACB，
∴DE=DF，
∴矩形EDFC是正方形；

（2）解：設正方形的邊長為x，則AE=6-x，
∵AB=10，AC=6，
∴BC=

AB2-AC2

=

102-62

=8，
∴tan∠BAC=

ED

AE

=

BC

AC

，
即

x

6-x

=

8

6

，
解得x=

24

7

，
即正方形EDFC的邊長為

24

7

，
∴AE=6-

24

7

=

18

7

，
在Rt△ADE中，AD=

AE2+DE2

=

( 18 7 )2+( 24 7 )2

=

30

7

；

（3）解：∵正方形EDFC的邊長為

24

7

，
∴CD=

24 2

7

，
∵∠B=∠G，∠DAG=∠DCB（在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等），
∴△ADG∽△CDB，
∴

AG

BC

=

AD

CD

，
即

AG

8

=

30 7

24 2 7

，
解得AG=5

2

．

點評：本題是圓的綜合題型，主要考查了正方形的判定與性質，勾股定理的應用，解直角三角形，在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等，相似三角形的判定與性質，（1）理清平行四邊形、矩形、正方形三者之間的關系是解題的關鍵，（3）確定出相似三角形是解題的關鍵．