Question

25、如圖△ABC為等邊三角形，直線a∥AB，D為直線BC上一點，∠ADE交直線a于點E，且∠ADE=60°．
（1）若D在BC上（如圖1）求證CD+CE=CA；

（2）若D在CB延長線上，CD、CE、CA存在怎樣數量關系，給出你的結論并證明．

Answer 1

分析：（1）實際上也就是求兩條線段相等，在AC上取一點F，使CF=CD，然后求證△ADF≌△EDC即可．
（2）歸根究底仍是求兩條線段的問題，通過求證全等，最終得出幾條邊之間的關系．

解答：（1）證明：在AC上取點F，使CF=CD，
∵∠ACB=60°，
∴△DCF為等邊三角形．
∴∠3+∠4=∠4+∠5=60°．
∴∠3=∠5．
∵∠1+∠ADE=∠2+∠ACE，，
∴∠1=∠2．
在△ADF和△ECD中，∠1=∠2，∠3=∠5，CD=DF，
∴△ADF≌△EDC．
∴CE=AF．
∴CD+CE=CF+AF=CA．

（2）解：CD、CE、CA滿足CE+CA=CD；證明如下：
在CA延長線上取CF=CD，
∵∠ACD=60°，
∴△FCD為等邊三角形．
∵∠1+∠2=∠2+∠3=60°，
∴∠1=∠3．
在△DFA和△DCE中
∠F=∠DCE，DF=CD，∠1=∠3，
∴△DFA≌△DCE．
∴CE=FA．
∴CE+CA=FA+CA=CF=CD．
注：證法（二）以CD為邊向下作等邊三角形，可證．
證法（三）過點D分別向CA、CE作垂線，也可證．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質及等邊三角形的性質；可圍繞結論尋找全等三角形，運用全等三角形的性質判定線段相等，證得三角形全等是正確解答本題的關鍵．