Question

（2012•香坊區(qū)三模）如圖，在等邊△ABC中，點D、E分別為AB、AC邊的中點，點F為BC邊上一點，CF=1，連接DF，以DF為邊作等邊△DFG，連接AG，且∠DAG=90°，則線段EF的長為

3

．

Answer 1

分析：連接DE，根據(jù)等邊三角形性質得出AB=AC=BC，∠B=∠C=∠BAC=60°，根據(jù)三角形的中位線求出AD

1

2

AB，AE=

1

2

AC，得出△ADE是等邊三角形，推出AD=DE，∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，求出∠ADG=∠EDF，證△ADG≌△EDF，推出∠DAG=∠DEF，求出∠EFC=∠DEF=90°，根據(jù)勾股定理求出即可．

解答：解：連接DE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，○B(yǎng)=∠C=∠BAC=60°，
∵D、E分別為AB、AC中點，
∴AD

1

2

AB，AE=

1

2

AC，
∴DE∥BC，AD=AE，
∴△ADE是等邊三角形，
∴AD=DE，∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，
∴∠ADG+∠GDE=60°，
∵△DFG是等邊三角形，
∴DG=DF，∠GDF=∠EDG+∠EDF=60°，
∴∠ADG=∠EDF，
在△ADG和△EDF中

AD=DE ∠ADG=∠EDF DG=DF

∴△ADG≌△EDF（SAS），
∴∠DAG=∠DEF，
∵∠DAG=90°，
∴∠DEF=90°，
∵DE∥BC，
∴∠EFC=∠DEF=90°，
∵CF=1，∠C=60°，
∴∠CEF=30°，
∴CE=2，由勾股定理得：EF=

3

，
故答案為：

3

．

點評：本題考查了等邊三角形的性質和判定，勾股定理，三角形的中位線，全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生綜合運用定理進行推理的能力．