Question

（2012•香坊區三模）已知正方形ABCD的邊長是4，對角線AC、BD交于點O，點E在線段AC上，且OE=

2

3

6

，則∠ABE的度數

15或75

度．

Answer 1

分析：根據正方形的性質首先得出AC=BD=

42+42

=4

2

，AC⊥BD，∠ABO=∠CBO=45°，再利用銳角三角函數得出∠BE′O=30°，∠BEO=30°，即可得出∠ABE的度數．

解答：解：∵正方形ABCD的邊長是4，對角線AC、BD交于點O，點E在線段AC上，且OE=

2

3

6

，
∴AC=BD=

42+42

=4

2

，AC⊥BD，∠ABO=∠CBO=45°，
∴AO=CO=BO=DO=2

2

，
∴tan∠BE′O=

BO

E′O

=

2 2

2 6 3

=

3

，tan∠BEO=

BO

EO

=

2 2

2 6 3

=

3

，
∴∠BE′O=30°，∠BEO=30°，
∴∠ABE的度數為：30°+45°=75°，或45°-30°=15°．
故答案為：15或75．

點評：此題主要考查了正方形的性質以及銳角三角函數的應用，根據已知熟練利用正方形性質得出AC⊥BD，∠ABO=∠CBO=45°，AO=CO=BO=DO是解題關鍵．