Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，C是優(yōu)弧AB上一點，設(shè)∠OAB=α，∠C=β．

（1）當β=36°時，求α的度數(shù)；

（2）猜想α與β之間的關(guān)系，并給予證明．

（3）若點C平分優(yōu)弧AB，且BC2=3OA2 ，試求α的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）β=54°；（2）α與β之間的關(guān)系是α+β=90°；證明見解析；（3）α=30°．

【解析】

（1）連接OB，根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半和等腰三角形的性質(zhì)解答即可；

（2）根據(jù)（1）的方法解答即可；

（3）過O作OE⊥AC于E，連接OC，證明AE=OA，得到△ABC為正三角形，得到答案．

（1）連接OB，

則OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∵∠C=36°，

∴∠AOB=72°，

∵∠OAB=（180°﹣∠AOB）=54°，

即β=54°；

（2）α與β之間的關(guān)系是α+β=90°；

證明：∵∠OBA=∠OAB=α，

∴∠AOB=180°﹣2α，

∵∠AOB=2∠β，

∴180°﹣2α=2∠β，

∴α+β=90°；

（3）∵點C平分優(yōu)弧AB，

∴AC=BC，

又∵BC2=3OA2，

∴AC=BC=OA，

過O作OE⊥AC于E，連接OC，

由垂徑定理可知AE=OA，

∴∠AOE=60°，∠OAE=30°，

∴∠ABC=60°，

∴△ABC為正三角形，

則α=∠CAB﹣∠CAO=30°．