Question

如圖，PAB為割線且PA=AB，PO交⊙O于C，若OC=3，OP=5，則AB的長為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：延長PO到E，延長線與圓O交于點E，連接EB，AC，由半徑OC的長，得到半徑OE的長，再由OE+OP得出EP的長，OP-OC得出CP的長，由PA=AB，設出PA=AB=x，則BP=2x，根據(jù)四邊形ACEB為圓O的內(nèi)接四邊形，利用圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角得到一對角相等，再由公共角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似，可得出三角形ACP與三角形EBP相似，由相似得比例，將各自的長代入列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為AB的長．
解答：延長PO到E，延長線與圓O交于點E，連接EB，AC，

∵OC=3，OP=5，
∴OE=OC=3，
∴EP=OE+OP=3+5=8，CP=OP-OC=5-3=2，
設PA=AB=x，則BP=2x，
∵四邊形ACEB為圓O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ACP=∠E，又∠P=∠P，
∴△ACP∽△EBP，
∴=，即=，
解得：x=2或x=-2（舍去），
則AB=2．
故選B
點評：此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及方程的思想，其中作出如圖所示的輔助線是解本題的關(guān)鍵．